حل تمرین صفحه 109 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۱۰۹ حسابان یازدهم سلام! برای نظیر کردن ضابطه‌ها به نمودارها، باید **نقاط کلیدی** (مانند برد، عرض از مبدأ و انتقال) هر تابع را بررسی کنیم. 📈 --- ### الف) $\mathbf{y = -|\sin x|}$ (نمودار سبز) 1. **ضابطه پایه**: $y = \sin x$. برد آن $[-۱, ۱]$ است. 2. **قدر مطلق**: $y = |\sin x|$ قسمت‌های منفی سینوس را قرینه و به بالا منتقل می‌کند (برد $[۰, ۱]$). 3. **قرینه سازی نهایی**: $y = -|\sin x|$ نمودار را نسبت به محور $x$ قرینه می‌کند. * **ویژگی‌ها**: * **برد**: $[ -۱, ۰]$. نمودار کاملاً زیر محور $x$ یا روی آن است. * **صفرهای تابع**: صفرهای سینوس ($ots, -\pi, ۰, \pi, ۲\pi, ots$) هستند. * **تطبیق**: نمودار **سبز** دارای برد $[ -۱, ۰]$ است و ریشه‌های آن $ots, -\pi, ۰, \pi, ots$ هستند. **(نمودار سمت راست)** --- ### ب) $\mathbf{y = \cos (x + \frac{\pi}{۶})}$ (نمودار صورتی) 1. **ضابطه پایه**: $y = \cos x$. 2. **انتقال**: $x \to x + \frac{\pi}{۶}$ یعنی انتقال افقی $\mathbf{\frac{\pi}{۶}}$ واحد **به سمت چپ**. * **ویژگی‌ها**: * **برد**: $[-۱, ۱]$. * **ماکزیمم**: $y=۱$ در $x + \frac{\pi}{۶} = ۰ \implies x = -\frac{\pi}{۶}$. (نقطه $(-\frac{i}{۶}, ۱)$) * **تطبیق**: نمودار **صورتی** دارای برد $[-۱, ۱]$ است و ماکزیمم آن در $x = -\frac{\pi}{۶}$ رخ داده است. --- ### پ) $\mathbf{y = \sin (x - \frac{\pi}{۳})}$ (نمودار آبی) 1. **ضابطه پایه**: $y = \sin x$. 2. **انتقال**: $x \to x - \frac{\pi}{۳}$ یعنی انتقال افقی $\mathbf{\frac{\pi}{۳}}$ واحد **به سمت راست**. * **ویژگی‌ها**: * **برد**: $[-۱, ۱]$. * **شروع از صفر**: در $x = \frac{\pi}{۳}$، مقدار $y = \sin(\frac{\pi}{۳} - \frac{\pi}{۳}) = ۰$ است. نمودار از $(\frac{\pi}{۳}, ۰)$ صعودی می‌شود. * **تطبیق**: نمودار **آبی** دارای برد $[-۱, ۱]$ است و از $athbf{x = \frac{\pi}{۳}}$ به سمت بالا شروع می‌شود. *** **نتیجه نهایی نظیر کردن**: * **نمودار آبی**: $\mathbf{y = \sin (x - \frac{\pi}{۳})}$ * **نمودار صورتی**: $\mathbf{y = \cos (x + \frac{\pi}{۶})}$ * **نمودار سبز**: $\mathbf{y = -|\sin x|}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۱۰۹ حسابان یازدهم برای نظیر کردن، ابتدا **نقطه شروع** و **برد** هر نمودار را پیدا می‌کنیم. سپس ضابطه‌ها را بر اساس تبدیلات و نقاط مرجع بررسی می‌کنیم. 🧐 --- ### ۱. تحلیل ضابطه‌ها * **(الف) $\mathbf{y = -\sin (x + \frac{\pi}{۶})}$**: $\sin x$ که $\frac{\pi}{۶}$ به چپ رفته و نسبت به $x$ قرینه شده است. * **نقطه شروع (صفر)**: $x = -\frac{\pi}{۶}$ ($y=۰$). بعد از آن نزولی می‌شود. * **برد**: $[-۱, ۱]$. * **(ب) $\mathbf{y = \cos (x - \frac{\pi}{۳})}$**: $\cos x$ که $\frac{\pi}{۳}$ به راست رفته است. * **ماکزیمم ($y=۱$)**: $x - \frac{\pi}{۳} = ۰ \implies x = \frac{\pi}{۳}$. * **برد**: $[-۱, ۱]$. * **(پ) $\mathbf{y = ۱ + |\cos x|}$**: $\cos x$ که قدر مطلق گرفته (برد $[۰, ۱]$) و سپس ۱ واحد به بالا رفته است. * **برد**: $[۱, ۲]$. * **مینیمم**: $y=۱$ در $\cos x = ۰ \implies x = \frac{\pi}{۲}, \frac{۳\pi}{۲}, \dots$. --- ### ۲. تطبیق نمودارها و تکمیل | نمودار | توصیف نمودار | ضابطه متناظر | ضابطه | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **سمت راست** (صورتی) | **برد $[-۱, ۱]$** است. در $x=۰$، $y = -\sin(\frac{\pi}{۶}) = -\frac{۱}{۲}$. نمودار از $(\mathbf{۰, -\frac{۱}{۲}})$ عبور می‌کند. | **(الف)** | $\mathbf{y = -\sin (x + \frac{\pi}{۶})}$ | | **سمت چپ** (سبز) | **برد $[۰, ۱]$ نیست**، اما دامنه آن محدود است. در $x=۰$، $y=۱ + |\cos ۰| = ۲$ و در $x = \frac{\pi}{۲}$، $y=۱ + |۰| = ۱$. * **برد**: $[۱, ۲]$. | **(پ)** | $\mathbf{y = ۱ + |\cos x|}$ | | **نمودار وسط** (آبی) | **برد $[-۱, ۱]$** است. در $x = \frac{\pi}{۳}$ ماکزیمم $y=۱$ دارد. | **(ب)** | $\mathbf{y = \cos (x - \frac{\pi}{۳})}$ | **تکمیل نمودارها**: نمودارهای دارای برد $[-۱, ۱]$ به صورت موج سینوسی/کسینوسی کامل می‌شوند. نمودار (پ) یک منحنی متقارن شبیه قوس‌های به هم پیوسته است که همواره بالای $y=۱$ قرار دارد. ---

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۱۰۹ حسابان یازدهم برای توابع با دامنه نامحدود، ماکزیمم و مینیمم در **نقاط رأس موج‌ها** رخ می‌دهد. برای توابعی که دامنه آن‌ها نامحدود نیست، باید نقاط مرزی را نیز بررسی کنیم. --- ### ۱. $\mathbf{y = -\sin (x + \frac{\pi}{۶})}$ * **برد**: $[-۱, ۱]$. * **بیشترین مقدار ($y=۱$)**: زمانی که $\sin (x + \frac{\pi}{۶}) = -۱$ باشد. $$x + \frac{\pi}{۶} = \frac{۳\pi}{۲} + ۲k\pi \implies x = \frac{۳\pi}{۲} - \frac{\pi}{۶} + ۲k\pi = \frac{۹\pi - \pi}{۶} + ۲k\pi = \mathbf{\frac{۴\pi}{۳} + ۲k\pi}$$ * **کمترین مقدار ($y=-۱$)**: زمانی که $\sin (x + \frac{\pi}{۶}) = ۱$ باشد. $$x + \frac{\pi}{۶} = \frac{\pi}{۲} + ۲k\pi \implies x = \frac{\pi}{۲} - \frac{\pi}{۶} + ۲k\pi = \frac{۳\pi - \pi}{۶} + ۲k\pi = \mathbf{\frac{\pi}{۳} + ۲k\pi}$$ --- ### ۲. $\mathbf{y = \cos (x - \frac{\pi}{۳})}$ * **برد**: $[-۱, ۱]$. * **بیشترین مقدار ($y=۱$)**: زمانی که $\cos (x - \frac{\pi}{۳}) = ۱$ باشد. $$x - \frac{\pi}{۳} = ۲k\pi \implies x = \mathbf{\frac{\pi}{۳} + ۲k\pi}$$ * **کمترین مقدار ($y=-۱$)**: زمانی که $\cos (x - \frac{\pi}{۳}) = -۱$ باشد. $$x - \frac{\pi}{۳} = \pi + ۲k\pi \implies x = \pi + \frac{\pi}{۳} + ۲k\pi = \mathbf{\frac{۴\pi}{۳} + ۲k\pi}$$ --- ### ۳. $athbf{y = ۱ + |\cos x|}$ * **برد**: $[۱, ۲]$. * **بیشترین مقدار ($y=۲$)**: زمانی که $|\cos x| = ۱ \implies \cos x = \pm ۱$ باشد. $$x = \mathbf{k\pi} \quad (\text{یعنی } ۰, \pi, ۲\pi, \dots)$$ * **کمترین مقدار ($y=۱$)**: زمانی که $|\cos x| = ۰ \implies \cos x = ۰$ باشد. $$x = \mathbf{\frac{\pi}{۲} + k\pi} \quad (\text{یعنی } \frac{\pi}{۲}, \frac{۳\pi}{۲}, \dots)$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۱۰۹ حسابان یازدهم تابع زمانی **یک به یک** است که در بازه داده شده، همواره **صعودی اکید** یا همواره **نزولی اکید** باشد (آزمون خط افقی). بازه مورد بررسی، $\mathbf{(۰, \pi)}$ است. 🧐 --- ### ۱. $athbf{y = -\sin (x + \frac{\pi}{۶})}$ * **بررسی**: تابع $y = \sin x$ در بازه $(۰, \pi)$ همواره نزولی است. * **بازه $x + \frac{\pi}{۶}$**: اگر $x \in (۰, \pi)$، آنگاه $x + \frac{\pi}{۶} \in (\frac{\pi}{۶}, \frac{۷\pi}{۶})$. * **رفتار تابع**: $\sin x$ در بازه $(\frac{\pi}{۶}, \frac{۷\pi}{۶})$ (شامل ربع اول، دوم و سوم)، ابتدا صعودی است تا $\frac{\pi}{۲}$، سپس نزولی می‌شود. * **نتیجه**: چون تابع $\sin (x + \frac{\pi}{۶})$ در این بازه **صعود و نزول** دارد (و قرینه آن نیز همینطور)، **یک به یک نیست**. ### ۲. $athbf{y = \cos (x - \frac{\pi}{۳})}$ * **بررسی**: تابع $y = \cos x$ در $(۰, \pi)$ همواره **نزولی اکید** است. * **بازه $x - \frac{\pi}{۳}$**: اگر $x \in (۰, \pi)$، آنگاه $x - \frac{\pi}{۳} \in (-\frac{\pi}{۳}, \frac{۲\pi}{۳})$. * **رفتار تابع**: در بازه $(-\frac{\pi}{۳}, \frac{۲\pi}{۳})$، $\cos x$ همواره **نزولی اکید** است (زیرا شامل قله موج کسینوس نمی‌شود). * **نتیجه**: $\mathbf{یک \quad به \quad یک \quad است}$. ### ۳. $athbf{y = ۱ + |\cos x|}$ * **بررسی**: تابع $\cos x$ در $(۰, \pi)$ از $y=۱$ به $y=-۱$ می‌رود. $|\cos x|$ از $۱$ به $۰$ و سپس از $۰$ به $۱$ می‌رود. * **رفتار تابع**: در بازه $(۰, \frac{\pi}{۲})$، تابع نزولی است. در بازه $(\frac{\pi}{۲}, \pi)$، تابع صعودی است. * **نتیجه**: چون تابع **صعود و نزول** دارد، **یک به یک نیست**. *** **نتیجه نهایی**: تابع $\mathbf{y = \cos (x - \frac{\pi}{۳})}$ در بازه $(۰, \pi)$ یک به یک است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۱۰۹ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله **ترکیبی فیزیک و مثلثات** است که از مفاهیم بردار و سینوس برای مدل‌سازی ارتفاع نهایی استفاده می‌کند. ارتفاع نوک گیره برابر است با **جمع ارتفاع پایه و مؤلفه‌های عمودی هر بازو**. 🤖 **پارامترها**: * **ارتفاع پایه**: $h_p = ۵۰ \text{ cm}$ * **طول بازوی اول**: $L_۱ = ۱۰۰ \text{ cm}$ * **طول بازوی دوم (با گیره)**: $L_۲ = ۵۳ \text{ cm}$ --- ### الف) مدل‌سازی ارتفاع نوک گیره ($H$) ارتفاع نهایی ($H$) از سطح زمین، برابر است با $H = h_p + h_۱ + h_۲$. 1. **ارتفاع بازوی اول ($h_۱$)**: مؤلفه عمودی بازوی اول، بر اساس زاویه $\theta$ (زاویه با افق) به دست می‌آید: $$h_۱ = L_۱ \sin \theta = \mathbf{۱۰۰ \sin \theta}$$ 2. **ارتفاع بازوی دوم ($h_۲$)**: زاویه این بازو نسبت به افق برابر $\mathbf{\theta + \alpha}$ است. مؤلفه عمودی بازوی دوم: $$h_۲ = L_۲ \sin (\theta + \alpha) = \mathbf{۵۳ \sin (\theta + \alpha)}$$ **تابع ارتفاع کل ($H$):** $$\mathbf{H(\theta, \alpha) = ۵۰ + ۱۰۰ \sin \theta + ۵۳ \sin (\theta + \alpha)}$$ --- ### ب) تعیین زاویه $\theta$ **داده‌ها**: * **ارتفاع نهایی**: $H = ۲۳ \text{ cm}$ * **زاویه مفصل دوم**: $\alpha = -۳۰^{\circ}$ **۱. جایگذاری مقادیر در تابع $H$**: $$۲۳ = ۵۰ + ۱۰۰ \sin \theta + ۵۳ \sin (\theta + (-۳۰^{\circ}))$$ $$۲۳ = ۵۰ + ۱۰۰ \sin \theta + ۵۳ \sin (\theta - ۳۰^{\circ})$$ **۲. ساده‌سازی معادله (جدا کردن $\sin \theta$)**: $$۱۰۰ \sin \theta + ۵۳ \sin (\theta - ۳۰^{\circ}) = ۲۳ - ۵۰ = -۲۷$$ **۳. استفاده از فرمول‌های جمع و تفریق** (اگرچه برای این مقطع صرفاً جایگذاری کافی است، اما برای حل نیاز است): $$\sin (\theta - ۳۰^{\circ}) = \sin \theta \cos ۳۰^{\circ} - \cos \theta \sin ۳۰^{\circ} = \frac{\sqrt{۳}}{۲} \sin \theta - \frac{۱}{۲} \cos \theta$$ **۴. حل ساده (با فرض موقعیت ساده)**: اگر روبات کاملاً پایین آمده باشد، $H$ باید $\mathbf{۲۳}$ باشد. توجه کنید که $h_p = ۵۰$. پس $h_۱ + h_۲ = -۲۷$ است. این نشان می‌دهد که **نوک روبات پایین‌تر از پایه قرار گرفته است**. * چون در صورت مسئله $۰ \le \theta \le \frac{\pi}{۲}$ (ربع اول) است، $\sin \theta \ge ۰$ است. **حل عددی**: $۱۰۰ \sin \theta + ۵۳ (\frac{\sqrt{۳}}{۲} \sin \theta - \frac{۱}{۲} \cos \theta) = -۲۷$ اگر زاویه $\mathbf{\theta = ۰}$ درجه باشد: $H = ۵۰ + ۰ + ۵۳ \sin(-۳۰^{\circ}) = ۵۰ + ۵۳(-\frac{۱}{۲}) = ۵۰ - ۲۶.۵ = ۲۳.۵ \text{ cm}$. **نتیجه نهایی**: چون مقدار $H$ مورد نظر در سؤال ($۲۳ \text{ cm}$) بسیار نزدیک به مقدار $H(۰, -۳۰^{\circ}) = ۲۳.۵ \text{ cm}$ است، زاویه $\theta$ در این وضعیت تقریباً $\mathbf{۰^{\circ}}$ است.